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公平なコインを投げたときに表か裏が出る確率は、多くの場合 50 対 50 であると理解されています。この概念は重要な前提に基づいています。つまり、コインの表と裏の可能性は等しいため、各結果 (表または裏) が発生する確率は 50% です。
Have you ever lost a coin toss? In theory, the odds could have gone either way. The stakes may or may not have been low for you, but millions of dollars are regularly wagered on the outcome of the Super Bowl coin toss. But what if a coin lands on its side, rather than either heads or tails? Then who emerges victorious?
コイントスで負けたことがありますか?理論的には、どちらの方向にも進む可能性があります。あなたにとって賭け金は低かったかもしれないし、そうでなかったかもしれませんが、スーパーボウルのコイントスの結果には定期的に数百万ドルが賭けられています。しかし、コインが表か裏ではなく、横向きになったらどうなるでしょうか?それでは誰が勝利を収めるのでしょうか?
In this mini-lecture, L. Mahadevan, de Valpine professor of applied mathematics, organismic and evolutionary biology, and physics, explores the probability of a coin toss in which the coin lands on its side, using it as a metaphor to discuss the role of chance and mathematics in understanding the world around us.
このミニ講義では、応用数学、生物進化生物学、物理学を専門とするド・ヴァルピーヌ教授の L. マハデヴァンが、コインが横になるコイントスの確率を探り、その役割を議論するための比喩として使用しています。私たちの周りの世界を理解する上での偶然と数学。
The probability of getting heads or tails when tossing a fair coin is often understood as 50-50. This notion is based on a critical assumption: the two sides of the coin are equally likely, and therefore each outcome—heads or tails—has a 50 percent chance of occurring.
公平なコインを投げたときに表か裏が出る確率は、多くの場合 50 対 50 であると理解されています。この概念は重要な前提に基づいています。つまり、コインの表と裏の可能性は等しいため、各結果 (表または裏) が発生する確率は 50% です。
Building on the simple coin toss, imagine gluing multiple coins together into a stack. As the stack becomes taller, the chance of landing on its side increases significantly, changing the probability dynamics completely.
単純なコイン投げに基づいて、複数のコインを貼り合わせてスタックにすることを想像してください。スタックの高さが高くなると、側面に着地する可能性が大幅に増加し、確率のダイナミクスが完全に変化します。
As the stack grows taller, approaching a mile long, the likelihood of the coin landing on its side approaches nearly 100 percent. Thus, the probability of it landing on heads or tails reduces dramatically, until gravity defines it as zero.
スタックが高くなり、長さが 1 マイルに近づくにつれて、コインが横に着地する可能性はほぼ 100% に近づきます。したがって、重力がゼロと定義するまで、頭または尾に着地する確率は大幅に減少します。
As Mahadevan explains, it’s possible to create a coin where the probability of heads, tails, and landing on its side are equal. About eight coins glued together to form a stack will produce an equal probability for all three scenarios, with approximately a one-third chance of each outcome.
マハデヴァン氏が説明するように、表と裏、そして側面に着地する確率が等しいコインを作成することは可能です。約 8 枚のコインを貼り合わせてスタックを形成すると、3 つのシナリオすべてで同じ確率が生成され、各結果の確率は約 3 分の 1 になります。
On one hand, the trajectory of a coin in flight is governed by Newton’s laws of motion, which can be precisely predicted. On the other, uncertainty—whether the coin lands heads, tails, or on its side—is an inherent part of the process, determined by initial conditions and the interplay of forces such as gravity and air resistance. By understanding and manipulating parameters such as shape, size, and mass, we can influence outcomes—effectively “tilting the odds” in our favor.
一方で、飛行中のコインの軌道は、正確に予測できるニュートンの運動法則によって支配されます。一方、不確実性 (コインが表になるか裏になるか、または横になるか) はプロセスに固有の部分であり、初期条件と、重力や空気抵抗などの力の相互作用によって決まります。形状、サイズ、質量などのパラメータを理解して操作することで、結果に影響を与えることができ、効果的に自分に有利なように「確率を傾ける」ことができます。
In a larger sense, this observation invites us to consider how deterministic laws and randomness co-exist in nature. Although the laws of physics always hold, we can sometimes wield an understanding of these rules to achieve a desired outcome—an outcome that might seem impossible or improbable.
より広い意味で、この観察は、自然界において決定論的法則とランダム性がどのように共存するかを考えるよう私たちに促します。物理法則は常に成り立ちますが、これらの法則を理解することで、望ましい結果、つまり不可能またはありそうもないように見える結果を達成できる場合があります。
In his course General Education 1190: “Wonder Why: Science as a Culture of Curiosity,” last offered in the spring of 2024, Mahadevan encouraged his students to think critically and to question the assumptions underlying what they observe. He assigned them an experiment to investigate the relationship between the length of a cylindrical object and the probability of it landing on its side.
2024 年の春に最後に開講された一般教育 1190 コース「ワンダーホワイ: 好奇心の文化としての科学」で、マハデヴァン氏は生徒たちに批判的に考え、観察するものの根底にある仮定に疑問を抱くよう奨励しました。彼は彼らに、円筒形の物体の長さとそれが横向きに着地する確率との関係を調べる実験を割り当てました。
By varying the length of rods and conducting numerous trials, the students gathered thousands of data points, which were then compared to theoretical predictions. The experimental results closely aligned with the theory, emphasizing the power of mathematics to describe the world accurately.
ロッドの長さを変えて数多くの実験を行うことで、学生たちは数千のデータポイントを収集し、それらを理論的な予測と比較しました。実験結果は理論とほぼ一致しており、世界を正確に記述する数学の力を強調しています。
In the sonnet that Mahadevan shared with his students, he used poetry to capture the essence of these ideas. The humble coin, traveling in “parabolic flight” as dictated by Newton’s laws, becomes a symbol of the delicate balance between certainty and uncertainty.
マハデヴァンが生徒たちに共有したソネットの中で、彼は詩を使ってこれらのアイデアの本質を捉えました。ニュートンの法則に従って「放物線飛行」をするこの質素なコインは、確実性と不確実性の間の微妙なバランスの象徴となります。
“See the humble coin in parabolic flighton a path prescribed by Newton's laws.While outcomes flicker in the clearest lightUncertainty reigns and gives one pause.
「ニュートンの法則で規定された軌道上を放物線状に飛行する質素なコインを見てください。結果が最も明確な光の中でちらつく一方で、不確実性が支配し、一時停止します。
A cylinder long may land upon its side“I wonder why,” pondered students' minds.The ratio of width to the diameter does abide,Which von Neumann cleverly into thirds assigned.
長い円柱が横に倒れることがあります。「なぜだろう」と生徒たちは考えました。幅と直径の比率は一定であり、フォン・ノイマンはこれを巧みに 3 分の 1 に割り当てました。
But chance is not maximally blind,And angular momentum unlocks the key.In precessions where biases unwind,The coin's true fate might not what it seems be.
しかし、偶然は盲目というわけではなく、角運動量が鍵を解きます。偏見が解ける歳差運動では、コインの本当の運命は見た目とは異なるかもしれません。
From the Gen Ed view, every motion we discern,Shows magic where physics and chance turn.”
Gen Ed の視点から見ると、私たちが識別するすべての動きは、物理学と偶然が変わる魔法を示しています。」
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