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공정한 동전을 던질 때 앞면이나 뒷면이 나올 확률은 종종 50-50으로 이해됩니다. 이 개념은 중요한 가정에 기초합니다. 즉, 동전의 양면이 동일할 가능성이 있으므로 각 결과(앞면 또는 뒷면)가 발생할 확률은 50%입니다.
Have you ever lost a coin toss? In theory, the odds could have gone either way. The stakes may or may not have been low for you, but millions of dollars are regularly wagered on the outcome of the Super Bowl coin toss. But what if a coin lands on its side, rather than either heads or tails? Then who emerges victorious?
동전 던지기에서 잃어버린 적이 있나요? 이론적으로 확률은 어느 쪽이든 갈 수 있습니다. 당신에게 판돈은 낮을 수도 있고 아닐 수도 있지만, 슈퍼볼 동전 던지기 결과에 정기적으로 수백만 달러가 베팅됩니다. 하지만 동전이 앞면이나 뒷면이 아닌 옆면으로 떨어지면 어떻게 될까요? 그렇다면 누가 승리하는가?
In this mini-lecture, L. Mahadevan, de Valpine professor of applied mathematics, organismic and evolutionary biology, and physics, explores the probability of a coin toss in which the coin lands on its side, using it as a metaphor to discuss the role of chance and mathematics in understanding the world around us.
이 미니 강의에서 드 발핀(de Valpine) 응용 수학, 유기체 및 진화 생물학, 물리학 교수인 L. Mahadevan은 동전 던지기에서 동전이 옆으로 떨어질 확률을 탐구하고 이를 비유로 사용하여 역할을 논의합니다. 우리 주변의 세계를 이해하는 데 있어서 우연과 수학의 중요성.
The probability of getting heads or tails when tossing a fair coin is often understood as 50-50. This notion is based on a critical assumption: the two sides of the coin are equally likely, and therefore each outcome—heads or tails—has a 50 percent chance of occurring.
공정한 동전을 던질 때 앞면이나 뒷면이 나올 확률은 종종 50-50으로 이해됩니다. 이 개념은 중요한 가정에 기초합니다. 즉, 동전의 양면이 동일할 가능성이 있으므로 각 결과(앞면 또는 뒷면)가 발생할 확률은 50%입니다.
Building on the simple coin toss, imagine gluing multiple coins together into a stack. As the stack becomes taller, the chance of landing on its side increases significantly, changing the probability dynamics completely.
간단한 동전 던지기를 바탕으로 여러 개의 동전을 모아서 스택으로 묶는 것을 상상해 보세요. 스택이 커질수록 옆으로 착지할 확률이 크게 증가하여 확률 역학이 완전히 변경됩니다.
As the stack grows taller, approaching a mile long, the likelihood of the coin landing on its side approaches nearly 100 percent. Thus, the probability of it landing on heads or tails reduces dramatically, until gravity defines it as zero.
스택의 길이가 1마일에 가까워질수록 동전이 옆으로 떨어질 확률은 거의 100%에 가까워집니다. 따라서 중력이 0으로 정의할 때까지 머리나 꼬리에 착륙할 확률은 극적으로 감소합니다.
As Mahadevan explains, it’s possible to create a coin where the probability of heads, tails, and landing on its side are equal. About eight coins glued together to form a stack will produce an equal probability for all three scenarios, with approximately a one-third chance of each outcome.
Mahadevan이 설명했듯이 앞면, 뒷면, 옆면이 나올 확률이 동일한 동전을 만드는 것이 가능합니다. 스택을 형성하기 위해 함께 붙어 있는 약 8개의 동전은 세 가지 시나리오 모두에 대해 동일한 확률을 생성하며 각 결과의 확률은 약 1/3입니다.
On one hand, the trajectory of a coin in flight is governed by Newton’s laws of motion, which can be precisely predicted. On the other, uncertainty—whether the coin lands heads, tails, or on its side—is an inherent part of the process, determined by initial conditions and the interplay of forces such as gravity and air resistance. By understanding and manipulating parameters such as shape, size, and mass, we can influence outcomes—effectively “tilting the odds” in our favor.
한편, 날아다니는 동전의 궤적은 정확하게 예측할 수 있는 뉴턴의 운동 법칙에 의해 지배됩니다. 반면, 동전이 앞면, 뒷면 또는 옆면으로 떨어지는지 여부와 같은 불확실성은 초기 조건과 중력 및 공기 저항과 같은 힘의 상호 작용에 의해 결정되는 프로세스의 고유한 부분입니다. 모양, 크기, 질량과 같은 매개변수를 이해하고 조작함으로써 우리는 결과에 영향을 미칠 수 있습니다. 즉, 효과적으로 "승률을 우리에게 유리하게 기울일" 수 있습니다.
In a larger sense, this observation invites us to consider how deterministic laws and randomness co-exist in nature. Although the laws of physics always hold, we can sometimes wield an understanding of these rules to achieve a desired outcome—an outcome that might seem impossible or improbable.
더 큰 의미에서, 이 관찰은 결정론적 법칙과 무작위성이 자연에서 어떻게 공존하는지 고려하도록 우리를 초대합니다. 물리 법칙은 항상 유효하지만 때로는 이러한 규칙을 이해하여 원하는 결과, 즉 불가능하거나 불가능해 보이는 결과를 얻을 수 있습니다.
In his course General Education 1190: “Wonder Why: Science as a Culture of Curiosity,” last offered in the spring of 2024, Mahadevan encouraged his students to think critically and to question the assumptions underlying what they observe. He assigned them an experiment to investigate the relationship between the length of a cylindrical object and the probability of it landing on its side.
2024년 봄에 마지막으로 제공되는 일반 교육 1190: "Wonder Why: 과학은 호기심의 문화입니다" 과정에서 Mahadevan은 학생들에게 비판적으로 생각하고 관찰한 내용의 기초가 되는 가정에 의문을 제기하도록 독려했습니다. 그는 그들에게 원통형 물체의 길이와 옆으로 떨어질 확률 사이의 관계를 조사하는 실험을 할당했습니다.
By varying the length of rods and conducting numerous trials, the students gathered thousands of data points, which were then compared to theoretical predictions. The experimental results closely aligned with the theory, emphasizing the power of mathematics to describe the world accurately.
막대의 길이를 변경하고 수많은 실험을 수행함으로써 학생들은 수천 개의 데이터 포인트를 수집한 다음 이론적 예측과 비교했습니다. 실험 결과는 이론과 밀접하게 일치하여 세계를 정확하게 설명하는 수학의 힘을 강조했습니다.
In the sonnet that Mahadevan shared with his students, he used poetry to capture the essence of these ideas. The humble coin, traveling in “parabolic flight” as dictated by Newton’s laws, becomes a symbol of the delicate balance between certainty and uncertainty.
Mahadevan이 학생들과 공유한 소네트에서 그는 시를 사용하여 이러한 아이디어의 본질을 포착했습니다. 뉴턴의 법칙에 따라 "포물선 비행"으로 이동하는 이 소박한 동전은 확실성과 불확실성 사이의 섬세한 균형을 상징합니다.
“See the humble coin in parabolic flighton a path prescribed by Newton's laws.While outcomes flicker in the clearest lightUncertainty reigns and gives one pause.
“뉴턴의 법칙이 규정한 길을 따라 포물선으로 날아다니는 보잘것없는 동전을 보세요. 결과가 가장 선명한 빛으로 깜박이는 동안 불확실성이 지배하고 잠시 멈춥니다.
A cylinder long may land upon its side“I wonder why,” pondered students' minds.The ratio of width to the diameter does abide,Which von Neumann cleverly into thirds assigned.
긴 원통이 옆으로 떨어질 수 있습니다. “왜일까?” 학생들의 마음은 숙고되었습니다. 너비와 직경의 비율은 유지되며, 폰 노이만은 교묘하게 3분의 1로 할당했습니다.
But chance is not maximally blind,And angular momentum unlocks the key.In precessions where biases unwind,The coin's true fate might not what it seems be.
그러나 기회는 최대한 맹목적이지 않으며 각운동량은 열쇠를 열어줍니다. 편견이 풀리는 세차 운동에서는 동전의 진정한 운명이 보이는 것과 다를 수도 있습니다.
From the Gen Ed view, every motion we discern,Shows magic where physics and chance turn.”
Gen Ed 관점에서 우리가 식별하는 모든 동작은 물리학과 우연이 바뀌는 마법을 보여줍니다.”
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