Hadamard 코인 및 셀프 루프가있는 완전한 그래프와 관련된 시프트 연산자를 사용한 UCDTQW 기반 검색 보완 알고리즘

D Layera, Alba Cervera-Liera

A search algorithm is a computational process that is used to locate a specific item or group of items within a larger collection of data. Search algorithms constitute both a solid and widely studied set of computational tools used in scientific and industrial applications everyday (e.g.,1,2,3,4,5,6), partly due to the emergence of new computer platforms (e.g., mobile and distributed systems), as well as an active research area (e.g.,7,8). Concrete examples of fields that make extensive use of search algorithms in classical computing include Database Management9, Natural Language Processing10, Convolutional Neural Networks11, and Computer Networks12.

검색 알고리즘은 더 큰 데이터 모음에서 특정 항목 또는 항목 그룹을 찾는 데 사용되는 계산 프로세스입니다. 검색 알고리즘은 새로운 컴퓨터 플랫폼 (예 : 모바일 및 모바일 및 분산 시스템) 및 활발한 연구 분야 (예 : 7,8). 클래식 컴퓨팅에서 검색 알고리즘을 광범위하게 사용하는 필드의 구체적인 예로는 데이터베이스 관리 9, 자연 언어 처리 10, Convolutional Neural NetworkS11 및 Computer NetworkS12가 포함됩니다.

With the emergence of quantum computing, new search algorithms have been created. The most famous proposal is Grover’s search algorithm13, with which we can amplify the probability amplitude of a specific state encoded in an oracle operator within a uniform distribution of states with complexity \(O(\sqrt{N})\) or solve combinatorial optimization problems14,15. Another example of a quantum search algorithm is the SKW algorithm16, proposed by Shenvi, Kempe and Whaley, which uses the framework of Unitary Coined Discrete-Time Quantum Walks (UCDTQW) to also increase the probability amplitude of a specific state encoded in an oracle operator.

양자 컴퓨팅의 출현으로 새로운 검색 알고리즘이 생성되었습니다. 가장 유명한 제안은 Grover의 검색 알고리즘 13으로, 복잡성 \ (o (\ sqrt {n}) \) 또는 조합 최적화를 해결하는 상태의 균일 한 분포 내에서 인코딩 된 특정 상태의 확률 진폭을 증폭시킬 수 있습니다. 문제 14,15. 양자 검색 알고리즘의 또 다른 예는 SHENVI, KEMPE 및 WHALEY가 제안한 SKW 알고리즘 16이며, 이는 UCDTQW (Oracle Operator에서 암호화 된 특정 상태의 확률 진폭을 증가시키기 위해 단일 동전 이산 시간 Quantum Walks)의 프레임 워크를 사용합니다. .

According to17, a UCDTQW consists of three elements: the state of a quantum walker, \({|{\psi }\rangle }\), the evolution operator of the system U and the set of measurement operators of the system \(\{M_k\}\). The quantum state of a walker is a bipartite state that is composed of a coin state, \({|{c_i}\rangle }\), that is part of an m-dimensional Hilbert space \(H_C\), and a position state, \({|{v_j}\rangle }\), that is part of an n-dimensional Hilbert space \(H_C\), such that \({|{\psi }\rangle }\) is a linear combination of the tensor product between pairs of coin and position states, i.e. \({|{\psi }\rangle } = \sum \limits _{i}\sum \limits _{j} a_{ij}{|{c_i}\rangle }\otimes {|{v_j}\rangle }.\) The evolution operator of the system is a bipartite operator that takes the form \(U = SC\), where C is the coin operator of the system, which modifies only the coin state in \({|{\psi }\rangle }\), i.e. it has the form \(C=C'\otimes I_n\), and S is the shift operator of the system, which in principle could by any bipartite operator, and it codifies the information about connections of the graph where the UCDTQW takes place. In general, S is always associated to a directed multigraph. The elements of the set of measurement operators, \(\{M_k\}\), have the form \(M_k = I_{m}\otimes {|{v_k}\rangle }{\langle {v_k}|}\). The SKW algorithm performs a UCDTQW to let a quantum walker move along the vertices of a hypercube graph and search for a marked node.

TO17에 따르면, UCDTQW는 Quantum Walker의 상태, \ ({| {{\ psi} \ rangle} \), 시스템 U의 진화 연산자 및 시스템의 측정 연산자 세트 \ (\ (\ \)의 세 가지 요소로 구성됩니다. {m_k \} \). 워커의 양자 상태는 동전 상태, \ ({| {| {c_i} \ rangle} \), 이는 m 차원 Hilbert Space \ (h_c \)의 일부인 위치로 구성된 이중 상태입니다. state, \ ({| {| {v_j} \ rangle} \), 그것은 n- 차원 Hilbert Space \ (h_c \)의 일부인 \ ({{| {\ psi} \ rangle} \)가 선형 조합입니다. 코인과 위치 상태 쌍 사이의 텐서 제품의 ee \ ({| {\ psi} \ rangle} = \ sum \ limits _ {i} \ sum \ limits _ {j} a_ {ij} {| {c_i} \ rangle} \ otimes {| {v_j} \ ranger}. \ ({| {{\ psi} \ rangle} \)의 코인 상태 만, 즉 형식 \ (c = c '\ otimes i_n \)를 가지고 있으며 S는 시스템의 시프트 연산자이며 원칙적으로 원칙적으로 할 수 있습니다. 모든 양자 연산자에 의해 UCDTQW가 발생하는 그래프의 연결에 대한 정보를 체계화합니다. 일반적으로 S는 항상 지시 된 멀티 그래프와 관련이 있습니다. 측정 연산자 세트의 요소 \ (\ {m_k \} \)에는 \ (m_k = i_ {m} \ otimes {| {v_k} \ rangle} {\ langle {v_k} |} \)가 있습니다. . SKW 알고리즘은 Quantum Walker가 하이퍼 큐브 그래프의 정점을 따라 이동하고 표시된 노드를 검색 할 수 있도록 UCDTQW를 수행합니다.

The SKW algorithm has been studied in detail through theoretical calculations and numerical simulations18,19,20,21,22, and, in fact, in21 the complexity of the quantum circuit was reduced by using the shift operator associated to the \(2^n\)-dimensional complete graph with self-loops, \(\mathscr {K}_{2^n}\), instead of the shift operator associated to a hypercube. However, even after this improvement, the SKW algorithm has never been reported to be efficiently implemented in a general-purpose quantum computer given that the quantum circuit form of the algorithm uses a multi-control Grover operator as part of the coin operator of the UCDTQW, which decomposes into a polynomial number of quantum gates, following the decompositions proposed in23 and24, making it challenging to run efficiently on NISQ computers.

SKW 알고리즘은 이론적 계산 및 수치 시뮬레이션을 통해 세부적으로 연구되었으며, 18,19,20,21,22, 실제로 2^N과 관련된 시프트 연산자를 사용하여 양자 회로의 복잡성이 감소했습니다. \)-셀프 루프가있는 차원 완전 그래프, \ (\ mathscr {k} _ {2^n} \), 하이퍼 큐브와 관련된 시프트 연산자 대신. 그러나 이러한 개선 후에도 SKW 알고리즘은 알고리즘의 양자 회로 형태가 UCDTQW의 코인 연산자의 일환으로 다중 제어 그로버 연산자를 사용한다는 점을 감안할 때 일반 목적 양자 컴퓨터에서 효율적으로 구현 된 것으로보고되지 않았습니다. , 이는 23 및 24의 제안 된 분해에 따라 다항식 수의 양자 게이트로 분해되어 NISQ 컴퓨터에서 효율적으로 실행하기가 어렵습니다.

In view of the former statement, we propose to modify the coin operator of the UCDTQW to make the SKW algorithm more efficient. A natural option arises with the n-qubit Hadamard operator, a commonly used operator in the field of UCDTQW for the role of the coin operator, which is indeed less computationally expensive, given that it consists of n sigle-qubit Hadamard gates. Thus one of the purposes of this work is to study the behaviour of the UCDTQW using the Hadamard coin. Moreover, it is also our goal to efficiently implement the search algorithm in IBM’s general-purpose quantum computers, thus we decided to take the idea proposed in21 and perform the search algorithm on the graph \(\mathscr {K}_{2^n}\). However we use the

이전 진술을 고려하여, 우리는 SKW 알고리즘을보다 효율적으로 만들기 위해 UCDTQW의 코인 연산자를 수정할 것을 제안합니다. N-Qubit Hadamard 연산자 인 N-Qubit Hadamard 운영자는 코인 연산자의 역할을 위해 UCDTQW 분야의 일반적으로 사용되는 연산자 인 N-Qubit Hadamard 연산자에게 자연스러운 옵션이 발생합니다. 따라서이 작업의 목적 중 하나는 Hadamard 코인을 사용하여 UCDTQW의 행동을 연구하는 것입니다. 또한, IBM의 일반 목적 양자 컴퓨터에서 검색 알고리즘을 효율적으로 구현하는 것이 우리의 목표이기도하므로 우리는 제안 된 아이디어를 가져 와서 그래프 \ (\ mathscr {k} _ {2^n에서 검색 알고리즘을 수행하기로 결정했습니다. } \). 그러나 우리는 그것을 사용합니다