ucdtqwベースの検索補完アルゴリズムHadamardコインとセルフループの完全なグラフに関連付けられたシフト演算子を使用した

d layera、alba cervera-liera

A search algorithm is a computational process that is used to locate a specific item or group of items within a larger collection of data. Search algorithms constitute both a solid and widely studied set of computational tools used in scientific and industrial applications everyday (e.g.,1,2,3,4,5,6), partly due to the emergence of new computer platforms (e.g., mobile and distributed systems), as well as an active research area (e.g.,7,8). Concrete examples of fields that make extensive use of search algorithms in classical computing include Database Management9, Natural Language Processing10, Convolutional Neural Networks11, and Computer Networks12.

検索アルゴリズムは、データの大規模なコレクション内の特定のアイテムまたはグループのグループを見つけるために使用される計算プロセスです。検索アルゴリズムは、新しいコンピュータープラットフォームの出現（例えば、モバイルおよびモバイルおよびモバイルおよび）の出現に起因する、毎日科学および産業用途で使用される、科学的および産業用途で使用される一連の確実な一連の計算ツールの両方を構成します。分散システム）、およびアクティブな研究分野（例：7,8）。古典的なコンピューティングで検索アルゴリズムを広範囲に使用するフィールドの具体的な例には、データベース管理9、自然言語処理10、畳み込みニューラルネットワーク11、およびコンピューターネットワークが含まれます。

With the emergence of quantum computing, new search algorithms have been created. The most famous proposal is Grover’s search algorithm13, with which we can amplify the probability amplitude of a specific state encoded in an oracle operator within a uniform distribution of states with complexity \(O(\sqrt{N})\) or solve combinatorial optimization problems14,15. Another example of a quantum search algorithm is the SKW algorithm16, proposed by Shenvi, Kempe and Whaley, which uses the framework of Unitary Coined Discrete-Time Quantum Walks (UCDTQW) to also increase the probability amplitude of a specific state encoded in an oracle operator.

量子コンピューティングの出現により、新しい検索アルゴリズムが作成されました。最も有名な提案は、Groverの検索アルゴリズム13であり、複雑さ\（\ sqrt {n}）\）を持つ状態の均一な分布内でオラクルオペレーターにエンコードされた特定の状態の確率振幅を増幅するか、組み合わせの最適化を解決することができます。問題14,15。量子検索アルゴリズムのもう1つの例は、Shenvi、Kempe、およびWhaleyによって提案されたSKWアルゴリズム16です。 。

According to17, a UCDTQW consists of three elements: the state of a quantum walker, \({|{\psi }\rangle }\), the evolution operator of the system U and the set of measurement operators of the system \(\{M_k\}\). The quantum state of a walker is a bipartite state that is composed of a coin state, \({|{c_i}\rangle }\), that is part of an m-dimensional Hilbert space \(H_C\), and a position state, \({|{v_j}\rangle }\), that is part of an n-dimensional Hilbert space \(H_C\), such that \({|{\psi }\rangle }\) is a linear combination of the tensor product between pairs of coin and position states, i.e. \({|{\psi }\rangle } = \sum \limits _{i}\sum \limits _{j} a_{ij}{|{c_i}\rangle }\otimes {|{v_j}\rangle }.\) The evolution operator of the system is a bipartite operator that takes the form \(U = SC\), where C is the coin operator of the system, which modifies only the coin state in \({|{\psi }\rangle }\), i.e. it has the form \(C=C'\otimes I_n\), and S is the shift operator of the system, which in principle could by any bipartite operator, and it codifies the information about connections of the graph where the UCDTQW takes place. In general, S is always associated to a directed multigraph. The elements of the set of measurement operators, \(\{M_k\}\), have the form \(M_k = I_{m}\otimes {|{v_k}\rangle }{\langle {v_k}|}\). The SKW algorithm performs a UCDTQW to let a quantum walker move along the vertices of a hypercube graph and search for a marked node.

To17によれば、UCDTQWは3つの要素で構成されています：Quantum Walkerの状態\（{| {\ psi} \ rangle} \）、システムuの進化演算子、およびシステムの測定演算子のセット\（\（\（\） {m_k \} \）。ウォーカーの量子状態は、コイン状態で構成される二部状態\（{| {c_i} \ rangle} \）であり、これはm次元のヒルベルト空間\（h_c \）の一部であり、位置state、\（{| {v_j} \ rangle} \）、これはn次元のヒルベルト空間\（h_c \）の一部であり、\（{| {\ psi} \ rangle} \）コイン状態と位置状態のペア間のテンソル積の、つまり\（{| {\ psi} \ rangle} = \ sum \ limits _ {i} \ sum \ limits _ {j} a_ {ij} {| {c_i} \ rangle} \ otimes {| {v_j} \ rangle}。\）システムの進化演算子は、フォーム\（u = sc \）を取得する二部演算子です。 \（{| {\ psi} \ rangle} \）のコイン状態のみ、つまりフォーム\（c = c '\ otimes i_n \）があり、sはシステムのシフト演算子であり、原則としては原則的にはシフト演算子です。任意のBipartiteオペレーターによって、UCDTQWが行われるグラフの接続に関する情報を成文化します。一般に、Sは常に指示されたマルチグラフに関連付けられています。測定演算子のセットの要素\（\ {m_k \} \）には、\（m_k = i_ {m} \ otimes {| {v_k} \ rangle} {\ langle {v_k} |} \）フォームがあります。 。 SKWアルゴリズムはUCDTQWを実行して、Quantum WalkerをHypercubeグラフの頂点に沿って移動し、マークされたノードを検索します。

The SKW algorithm has been studied in detail through theoretical calculations and numerical simulations18,19,20,21,22, and, in fact, in21 the complexity of the quantum circuit was reduced by using the shift operator associated to the \(2^n\)-dimensional complete graph with self-loops, \(\mathscr {K}_{2^n}\), instead of the shift operator associated to a hypercube. However, even after this improvement, the SKW algorithm has never been reported to be efficiently implemented in a general-purpose quantum computer given that the quantum circuit form of the algorithm uses a multi-control Grover operator as part of the coin operator of the UCDTQW, which decomposes into a polynomial number of quantum gates, following the decompositions proposed in23 and24, making it challenging to run efficiently on NISQ computers.

SKWアルゴリズムは、理論計算と数値シミュレーション18,19,20,21,22を通じて詳細に研究されています。 \） - 自己ループ、\（\ mathscr {k} _ {2^n} \）を備えた次元の完全なグラフ、ハイパーキューブに関連付けられたシフト演算子の代わりに。ただし、この改善の後でも、SKWアルゴリズムは、アルゴリズムの量子回路形式がUCDTQWのコイン演算子の一部としてマルチコントロールグローバーオペレーターを使用していることを考えると、汎用量子コンピューターに効率的に実装されると報告されていません。 、23および24で提案された分解に続いて、多項式数の量子ゲートに分解され、NISQコンピューターで効率的に実行することが困難になります。

In view of the former statement, we propose to modify the coin operator of the UCDTQW to make the SKW algorithm more efficient. A natural option arises with the n-qubit Hadamard operator, a commonly used operator in the field of UCDTQW for the role of the coin operator, which is indeed less computationally expensive, given that it consists of n sigle-qubit Hadamard gates. Thus one of the purposes of this work is to study the behaviour of the UCDTQW using the Hadamard coin. Moreover, it is also our goal to efficiently implement the search algorithm in IBM’s general-purpose quantum computers, thus we decided to take the idea proposed in21 and perform the search algorithm on the graph \(\mathscr {K}_{2^n}\). However we use the

前者の声明を考慮して、SKWアルゴリズムをより効率的にするために、UCDTQWのコインオペレーターを変更することを提案します。 N-sigle-qubit Hadamardゲートで構成されていることを考えると、Coinオペレーターの役割のためにUCDTQWの分野で一般的に使用されているオペレーターであるN-qubit HadamardオペレーターであるN-qubit Hadamardオペレーターは、Coinオペレーターの役割で一般的に使用されるオペレーターで発生します。したがって、この作業の目的の1つは、Hadamard Coinを使用してUCDTQWの行動を研究することです。さらに、IBMの汎用量子コンピューターに検索アルゴリズムを効率的に実装することも目標です。 } \）。ただし、を使用します