Algorithme de complément de recherche basé sur UCDTQW Utilisation de la pièce Hadamard et de l'opérateur de changement

D Layera, Alba Cervera-Liera

A search algorithm is a computational process that is used to locate a specific item or group of items within a larger collection of data. Search algorithms constitute both a solid and widely studied set of computational tools used in scientific and industrial applications everyday (e.g.,1,2,3,4,5,6), partly due to the emergence of new computer platforms (e.g., mobile and distributed systems), as well as an active research area (e.g.,7,8). Concrete examples of fields that make extensive use of search algorithms in classical computing include Database Management9, Natural Language Processing10, Convolutional Neural Networks11, and Computer Networks12.

Un algorithme de recherche est un processus de calcul qui est utilisé pour localiser un élément ou un groupe d'éléments spécifique dans une plus grande collection de données. Les algorithmes de recherche constituent à la fois un ensemble solide et largement étudié d'outils de calcul utilisés dans les applications scientifiques et industrielles quotidiennement (par exemple, 1,2,3,4,5,6), en partie en raison de l'émergence de nouvelles plateformes informatiques (par exemple, mobile et Systèmes distribués), ainsi qu'un domaine de recherche actif (par exemple, 7,8). Des exemples concrets de champs qui utilisent largement les algorithmes de recherche dans l'informatique classique incluent la gestion de la base de données9, le traitement du langage naturel10, les réseaux de neurones convolutionnels11 et les réseaux informatiques12.

With the emergence of quantum computing, new search algorithms have been created. The most famous proposal is Grover’s search algorithm13, with which we can amplify the probability amplitude of a specific state encoded in an oracle operator within a uniform distribution of states with complexity \(O(\sqrt{N})\) or solve combinatorial optimization problems14,15. Another example of a quantum search algorithm is the SKW algorithm16, proposed by Shenvi, Kempe and Whaley, which uses the framework of Unitary Coined Discrete-Time Quantum Walks (UCDTQW) to also increase the probability amplitude of a specific state encoded in an oracle operator.

Avec l'émergence de l'informatique quantique, de nouveaux algorithmes de recherche ont été créés. La proposition la plus célèbre est l'algorithme de recherche de Grover, avec lequel nous pouvons amplifier l'amplitude de probabilité d'un état spécifique codé dans un opérateur oracle dans une distribution uniforme des états avec une complexité \ (o (\ sqrt {n}) \) ou une optimisation combinatoire de sold Problèmes14,15. Un autre exemple d'un algorithme de recherche quantique est l'algorithme SKW, proposé par Shenvi, Kempe et Whaley, qui utilise le cadre de promenades quantiques à temps discret insérées à unité (UCDTQW) pour augmenter également l'amplitude de probabilité d'un état spécifique codé dans un opérateur d'oracle en un opérateur d'oracle .

According to17, a UCDTQW consists of three elements: the state of a quantum walker, \({|{\psi }\rangle }\), the evolution operator of the system U and the set of measurement operators of the system \(\{M_k\}\). The quantum state of a walker is a bipartite state that is composed of a coin state, \({|{c_i}\rangle }\), that is part of an m-dimensional Hilbert space \(H_C\), and a position state, \({|{v_j}\rangle }\), that is part of an n-dimensional Hilbert space \(H_C\), such that \({|{\psi }\rangle }\) is a linear combination of the tensor product between pairs of coin and position states, i.e. \({|{\psi }\rangle } = \sum \limits _{i}\sum \limits _{j} a_{ij}{|{c_i}\rangle }\otimes {|{v_j}\rangle }.\) The evolution operator of the system is a bipartite operator that takes the form \(U = SC\), where C is the coin operator of the system, which modifies only the coin state in \({|{\psi }\rangle }\), i.e. it has the form \(C=C'\otimes I_n\), and S is the shift operator of the system, which in principle could by any bipartite operator, and it codifies the information about connections of the graph where the UCDTQW takes place. In general, S is always associated to a directed multigraph. The elements of the set of measurement operators, \(\{M_k\}\), have the form \(M_k = I_{m}\otimes {|{v_k}\rangle }{\langle {v_k}|}\). The SKW algorithm performs a UCDTQW to let a quantum walker move along the vertices of a hypercube graph and search for a marked node.

Selon 17, un UCDTQW se compose de trois éléments: l'état d'un marcheur quantique, \ ({| {\ psi} \ Hangle} \), l'opérateur d'évolution du système U et l'ensemble des opérateurs de mesure du système \ (\ {M_k \} \). L'état quantique d'un marcheur est un état bipartite qui est composé d'un état de pièce, \ ({| {c_i} \ Hangle} \), qui fait partie d'un espace Hilbert M dimensionnel \ (H_C \), et d'une position State, \ ({| {V_J} \ Hangle} \), qui fait partie d'un espace Hilbert n-dimensionnel \ (H_C \), tel que \ ({| {\ psi} \ Hangle} \) est une combinaison linéaire du produit du tenseur entre des paires de pièces et des états de position, ie \ ({| {\ psi} \ Hangle} = \ sum \ limites _ {i} \ sum \ limites _ {j} a_ {ij} {| {c_i} \ Hangle} \ Otimes {| {V_J} \ Hangle}. \) L'opérateur d'évolution du système est un opérateur bipartite qui prend la forme \ (u = sc \), où c est l'opérateur de pièce du système, qui modifie Seul l'état de pièce dans \ ({| {\ psi} \ Hangle} \), c'est-à-dire qu'il a la forme \ (c = c '\ otimes i_n \), et S est l'opérateur de changement de vitesse du système, ce qui pourrait en principe par n'importe quel opérateur bipartite, et il codifie les informations sur les connexions du graphique où l'UCDTQW a lieu. En général, S est toujours associé à un multigraphe dirigé. Les éléments de l'ensemble des opérateurs de mesure, \ (\ {m_k \} \), ont le formulaire \ (m_k = i_ {m} \ otimes {| {v_k} \ hangle} {\ langle {v_k} |} \) . L'algorithme SKW effectue un UCDTQW pour laisser un marcheur quantique se déplacer le long des sommets d'un graphique hypercube et rechercher un nœud marqué.

The SKW algorithm has been studied in detail through theoretical calculations and numerical simulations18,19,20,21,22, and, in fact, in21 the complexity of the quantum circuit was reduced by using the shift operator associated to the \(2^n\)-dimensional complete graph with self-loops, \(\mathscr {K}_{2^n}\), instead of the shift operator associated to a hypercube. However, even after this improvement, the SKW algorithm has never been reported to be efficiently implemented in a general-purpose quantum computer given that the quantum circuit form of the algorithm uses a multi-control Grover operator as part of the coin operator of the UCDTQW, which decomposes into a polynomial number of quantum gates, following the decompositions proposed in23 and24, making it challenging to run efficiently on NISQ computers.

L'algorithme SKW a été étudié en détail à travers des calculs théoriques et des simulations numériques18,19,20,21,22, et, en fait, dans 21 la complexité du circuit quantique a été réduite en utilisant l'opérateur de décalage associé au \ (2 ^ n \) - graphique complet dimensionnel avec les boucles d'auto-boucles, \ (\ mathscr {k} _ {2 ^ n} \), au lieu de l'opérateur de décalage associé à un hypercube. Cependant, même après cette amélioration, l'algorithme SKW n'a jamais été rapporté qu'il a été mis en œuvre efficacement dans un ordinateur quantique à usage général étant donné que la forme de circuit quantique de l'algorithme utilise un opérateur Grover multi-contrôleur dans le cadre de l'opérateur de pièce de l'UCDTQW , qui se décompose en un nombre polynomial de portes quantiques, après les décompositions proposées en 23 et24, ce qui rend difficile de fonctionner efficacement sur les ordinateurs NISQ.

In view of the former statement, we propose to modify the coin operator of the UCDTQW to make the SKW algorithm more efficient. A natural option arises with the n-qubit Hadamard operator, a commonly used operator in the field of UCDTQW for the role of the coin operator, which is indeed less computationally expensive, given that it consists of n sigle-qubit Hadamard gates. Thus one of the purposes of this work is to study the behaviour of the UCDTQW using the Hadamard coin. Moreover, it is also our goal to efficiently implement the search algorithm in IBM’s general-purpose quantum computers, thus we decided to take the idea proposed in21 and perform the search algorithm on the graph \(\mathscr {K}_{2^n}\). However we use the

Compte tenu de l'ancienne déclaration, nous proposons de modifier l'opérateur de pièces de la pièce de l'UCDTQW pour rendre l'algorithme SKW plus efficace. Une option naturelle survient avec l'opérateur de N-Qubit Hadamard, un opérateur couramment utilisé dans le domaine de l'UCDTQW pour le rôle de l'opérateur de pièces, qui est en effet moins cher sur le calcul, étant donné qu'il se compose de portes Hadamard N sigle-qubit. Ainsi, l'un des objectifs de ces travaux est d'étudier le comportement de l'UCDTQW en utilisant la pièce Hadamard. De plus, nous avons également l'objectif d'implémenter efficacement l'algorithme de recherche dans les ordinateurs quantiques à usage général d'IBM, nous avons donc décidé de prendre l'idée proposée en21 et d'effectuer l'algorithme de recherche sur le graphique \ (\ mathscr {k} _ {2 ^ n } \). Cependant, nous utilisons le