Qu’est-ce que le théorème de Bayes ?

Le théorème de Bayes nous permet d'ajuster nos croyances sur la base de nouvelles preuves, nous permettant ainsi de prendre des décisions plus éclairées dans des situations incertaines.

Oct 17, 2024 at 07:05 am

Qu’est-ce que le théorème de Bayes ?

1. Présentation

Le théorème de Bayes, du nom du révérend Thomas Bayes, est un concept fondamental en probabilité et en statistique. Il fournit une méthode pour mettre à jour les croyances ou les probabilités sur la base de nouvelles preuves, nous permettant ainsi de prendre des décisions plus éclairées face à l'incertitude.

2. Définition

Le théorème de Bayes est une équation mathématique qui décrit la relation entre trois probabilités :

• P(A|B) : La probabilité que l'événement A se produise étant donné que l'événement B s'est déjà produit (probabilité postérieure)
• P(A) : La probabilité que l'événement A se produise (probabilité a priori)
• P(B|A) : La probabilité que l'événement B se produise étant donné que l'événement A s'est déjà produit (probabilité)
• P(B) : La probabilité que l'événement B se produise (probabilité marginale)

3. Équation

Le théorème de Bayes peut s'exprimer comme suit :

 P(A|B) = (P(A) * P(B|A)) / P(B)

4. Interprétation

Pour comprendre le théorème de Bayes, décomposons l'équation :

• P(A|B) : Probabilité postérieure - Il s'agit de la probabilité mise à jour de l'événement A après avoir pris en compte les preuves B. Elle reflète notre croyance que A est vrai étant donné que B s'est produit.
• P(A) : Probabilité a priori - C'est notre croyance initiale que A est vrai avant de considérer toute preuve.
• P(B|A) : Probabilité - C'est la probabilité d'observer B si A est vrai. Cela représente la probabilité qu’il y ait B étant donné que A s’est produit.
• P(B) : Probabilité marginale – Il s’agit de la probabilité d’observer B, que A soit vrai ou non. Il est utilisé pour normaliser la probabilité a posteriori.

5. Candidatures

Le théorème de Bayes est largement utilisé dans divers domaines, notamment :

• Apprentissage automatique et intelligence artificielle
• Diagnostic médical et épidémiologie
• Science médico-légale
• Évaluation et prévision des risques
• Analyse financière et investissement

6. Exemple

Supposons qu’il existe une maladie dont la prévalence est de 1 % dans la population. Un test de détection de la maladie est effectué et il est connu pour être précis à 99 %, ce qui signifie qu'il donne un résultat positif si le patient est atteint de la maladie (sensibilité) et un résultat négatif si le patient n'est pas atteint de la maladie (spécificité).

• P(A) (Probabilité préalable) : La probabilité d'être atteint de la maladie est de 1 %.
• P(B|A) (Probabilité) : La probabilité d’être testé positif compte tenu de la maladie est de 99 %.
• P(B') (Probabilité) : La probabilité d'obtenir un test négatif en l'absence de maladie est de 99 %.

Si un patient est testé positif, quelle est la probabilité qu’il soit réellement atteint de la maladie (probabilité a posteriori) ?

• P(UNE|B) = (P(UNE) * P(B|UNE)) / P(B)
• P(A|B) = (0,01 0,99) / (0,01 0,99 + (1 - 0,01) * 0,99)
• P(UNE|B) ≈ 0,998

Ainsi, même si la maladie est rare, un résultat de test positif rend très probable que le patient en soit atteint (99,8 %).